Achtergrond info bij digitale filters.

[ravon]

Zoals je ziet een duidelijk verschil en het ligt voor de hand te denken dat in de groene versie veel minder HF zit.

 

Ik neem aan dat de groene versie overeen komt met golfje 2 uit jouw eerste post.

 

Als dat zo is, dan lijkt dat een beetje tegenstrijdig met wat je eerder schreef:

 

Even schrikken, het blijkt dat het niet-rinkelend "filter" een hogetoon versterking heeft.

 

Bedoelen we hetzelfde?

Nee. Dat groene lijntje en het eerder gepubliceerd plaatje 2 zijn niet dezelfde signalen. Het was alleen om aan te tonen dat tijdsvertraging 2 effecten heeft: een veel mooier tijddomeinplaatje en geen verschil in Fouriercoefficienten. Plaatje 2 is een blokgolf zoals ie opgewekt is door Audition, waarbij die halve Ts dus niets uitmaakt.

 

Groet,

Jacco

Het zou vreemd zijn als een signaal er anders uitziet als je de timing van de sampler verandert.

Ja, dat zou vreemd zijn.

 

Ik heb die signalen bekeken.

 

Het verschil tussen de twee signalen is de timing van de bemonsteringstijdstippen; de bemonstering van de twee signalen is onderling 0.5 * Ts verschoven.

 

Daardoor lijkt het ene signaal niet te "ringen" (met fs/2?) en het andere w

[dekkersj]

[...]

De optische verschillen zijn een gevolg van aliasing.

Nee! Er IS geen aliasing! In geen enkel plaatje, dat is met opzet voorkomen. Anders zou het een zooitje worden.

 

De verschillen in het HF stuk (in Plaatje 1 en Plaatje 2) zijn een gevolg van een verkrachting van de Fouriercoefficienten van een filter. En dit allemaal om de blokgolf er netjes uit te laten zien...

 

Groet,

Jacco

Edited 11 mei 2006 by dekkersj

[UltrAnalog]

Het zou vreemd zijn als een signaal er anders uitziet als je de timing van de sampler verandert.

Dat is niet vreemd als je bedenkt dat samplen moduleren met een delta pulstrein is. Als het niet uitmaakte bestonden er geen fractional delay resamplers.

[UltrAnalog]

Er IS geen aliasing!

Als het aliasing was, zou het er exact hetzelfde uitzien.

[ravon]

[...]

De optische verschillen zijn een gevolg van aliasing.

Nee! Er IS geen aliasing! In geen enkel plaatje, dat is met opzet voorkomen. Anders zou het een zooitje worden.

 

De verschillen in het HF stuk (in Plaatje 1 en Plaatje 2) zijn een gevolg van een verkrachting van de Fouriercoefficienten van een filter. En dit allemaal om de blokgolf er netjes uit te laten zien...

 

Groet,

Jacco

Okee, het LIJKT voor mij op aliasing maar het IS het blijkbaar niet. Ik kan niet uitleggen waarom het intu

[dekkersj]

[...]

 

De toename van de HF zie ik nu ook, van de rinkelblokgolf betaat de flank uit drie sampels, bij de vlakke blokgolf bestaat de flank uit twee sampels. De flanken van de vlakke golf zijn steiler, dus is er meer HF.

Zoveel meer zelfs dat het eigenlijk geen blokgolf meer mag heten als ik naar de spectrale inhoud kijk. Lijkt tegenstrijdig, maar het klopt wel.

 

Groet,

Jacco

[Pjotr]

Er IS geen aliasing!

Als het aliasing was, zou het er exact hetzelfde uitzien.

Het begrip aliasing in deze context wordt steeds onduidelijker.

 

Aliasing is voor mij altijd nog: Frequentiecomponenten in het signaal van boven 1/2 fs die terugvouwen om fs en daardoor (ongewenste) componenten onder 1/2 fs veroorzaken.

 

Hoe moet ik dat in deze discussie en Jacco's plaatjes plaatsen?

 

[dekkersj]

Er IS geen aliasing!

Als het aliasing was, zou het er exact hetzelfde uitzien.

Het begrip aliasing in deze context wordt steeds onduidelijker.

 

Aliasing is voor mij altijd nog: Frequentiecomponenten in het signaal van boven 1/2 fs die terugvouwen om fs en daardoor (ongewenste) componenten onder 1/2 fs veroorzaken.

 

Hoe moet ik dat in deze discussie en Jacco's plaatjes plaatsen?

 

Niet. Er zijn geen componenten boven fs/2 gebruikt. Dan kunnen ze ook niet vouwen.

 

Groet,

Jacco

[ravon]

Gelukkig, ik dacht dat ik alweer afgefakkeld zou worden oid. 

 

Nou, een korte uitleg. Te beginnen bij Shannon en dus de basis van de digitale techniek. Shannon heeft bewezen dat je tot de helft van de samplefrequentie alle informatie kunt terugwinnen door te bemonsteren met die samplefrequentie. Bij interpolatie heb je een laagdoorlaatfilter nodig om die losse tijddomein samples te reconstrueren. Volgens de theorie heb je daar niets aan, want je hebt een brickwall filter nodig in het frequentiedomein met als implicatie dat je oneindig lang moet wachten. Je kunt zo'n filter dus als parameter zien waaraan je kunt draaien, omdat je het ideale geval toch niet kunt maken.

 

In audioland zijn er vele ontwerpers die naar tijddomeinplaatjes kijken en daarop hun conclusies baseren. Ik heb begrepen dat er zelfs gerenommeerde bedrijven beweren dat dat rinkelen niet goed is. Kan zijn, maar het introduceert een amplitudefout als je dat rinkelen gaat weghalen.

 

Om dat te demonstreren heb ik een blokgolf gekozen waarbij ik tot fs/2 alle harmonischen meeneem volgens de Fourierreeks die een blokgolf representeert. Dat is plaatje 1. Je ziet duidelijk rinkelen of ringing. Dat zien analoge ogen niet graag en veroordelen dit signaal al gauw en wordt het afgewezen. Onterecht, zo blijkt. Je kunt ook zo lang prutsen aan je filter totdat er een nette blok uitkomt, dat is plaatje 2. Voor het oog een lust, maar in het frequentiedomein een vervorming.

 

Plaatje 2 hoort bij een filter dat, wanneer geimplementeerd in een DAC, vaak geprezen wordt met het argument "meer detail" en "beter uitsterfgedrag". Ja, dat vind ik niet gek: je zit de hoge tonen te boosten! Maar dat mag ik natuurlijk niet zeggen...

 

Gesnopen?

 

Groet,

Jacco

Is dat een fout?

 

De frequentiespectra van beide signalen onder elkaar vertonen een interessant verschil. Ik heb helaas niet de mogeljkheid om nu van beide signalen ook het fasespectrum te produceren.

 

Een conclusie zou kunnen zijn dat de fourierreeks van een blokgolf, die we allemaal op school hebben geleerd (1, 1/3, 1/5, 1/7, etc.), een rinkelende blokgolf beschrijft die dus geen blokgolf is en dat de fourierreeks van een vlakke blokgolf er anders uitziet, ik weet niet hoe, dat gaat Jacco ongetwijfeld uitrekenen. Daarna is het een kwestie van kiezen welke de beste is.

[dekkersj]

Gelukkig, ik dacht dat ik alweer afgefakkeld zou worden oid. 

 

Nou, een korte uitleg. Te beginnen bij Shannon en dus de basis van de digitale techniek. Shannon heeft bewezen dat je tot de helft van de samplefrequentie alle informatie kunt terugwinnen door te bemonsteren met die samplefrequentie. Bij interpolatie heb je een laagdoorlaatfilter nodig om die losse tijddomein samples te reconstrueren. Volgens de theorie heb je daar niets aan, want je hebt een brickwall filter nodig in het frequentiedomein met als implicatie dat je oneindig lang moet wachten. Je kunt zo'n filter dus als parameter zien waaraan je kunt draaien, omdat je het ideale geval toch niet kunt maken.

 

In audioland zijn er vele ontwerpers die naar tijddomeinplaatjes kijken en daarop hun conclusies baseren. Ik heb begrepen dat er zelfs gerenommeerde bedrijven beweren dat dat rinkelen niet goed is. Kan zijn, maar het introduceert een amplitudefout als je dat rinkelen gaat weghalen.

 

Om dat te demonstreren heb ik een blokgolf gekozen waarbij ik tot fs/2 alle harmonischen meeneem volgens de Fourierreeks die een blokgolf representeert. Dat is plaatje 1. Je ziet duidelijk rinkelen of ringing. Dat zien analoge ogen niet graag en veroordelen dit signaal al gauw en wordt het afgewezen. Onterecht, zo blijkt. Je kunt ook zo lang prutsen aan je filter totdat er een nette blok uitkomt, dat is plaatje 2. Voor het oog een lust, maar in het frequentiedomein een vervorming.

 

Plaatje 2 hoort bij een filter dat, wanneer geimplementeerd in een DAC, vaak geprezen wordt met het argument "meer detail" en "beter uitsterfgedrag". Ja, dat vind ik niet gek: je zit de hoge tonen te boosten! Maar dat mag ik natuurlijk niet zeggen...

 

Gesnopen?

 

Groet,

Jacco

Is dat een fout?

 

De frequentiespectra van beide signalen onder elkaar vertonen een interessant verschil. Ik heb helaas niet de mogeljkheid om nu van beide signalen ook het fasespectrum te produceren.

 

Een conclusie zou kunnen zijn dat de fourierreeks van een blokgolf, die we allemaal op school hebben geleerd (1, 1/3, 1/5, 1/7, etc.), een rinkelende blokgolf beschrijft die dus geen blokgolf is en dat de fourierreeks van een vlakke blokgolf er anders uitziet, ik weet niet hoe, dat gaat Jacco ongetwijfeld uitrekenen. Daarna is het een kwestie van kiezen welke de beste is.

Je begint het licht te zien. De blokgolf die we op school geleerd hebben, is de enig juiste. En die rammelt als je daar ook maar 1 sinusje van vergeet: de laatste, met rugnummer oneindig.

 

Grappig, don't you think...

 

Dus al die digitale blokgolven (die per definitie bandbreedtebegrensd zijn), moeten een rinkel vertonen. Zoniet, is er geknutseld aan de reeks zoals we die op school geleerd hebben. Ik denk overigens dat er oneindig veel manieren zijn om die puntgave blokgolf te genereren. Maar er is maar 1 echte: die met de Fouriercoefficienten zoals op school geleerd.

 

Groet,

Jacco

[ravon]

Gelukkig, ik dacht dat ik alweer afgefakkeld zou worden oid.

[dekkersj]

In een expliciet bandbreedte begrensd systeem kun je geen blok maken. In ieder analoog syteem wel, dat is immers niet bandbreedtebegrensd.

 

Blijft een zorgenkindje, dat digitaal. Immers, wie zegt dat er te leven valt met een slingerende blok? Heeft dat een psychoakoestisch effect? Niet dat er hogere harmonischen voorkomen. Ik weet het niet.

 

Groet,

Jacco

[ravon]

Blijft een zorgenkindje, dat digitaal. Immers, wie zegt dat er te leven valt met een slingerende blok? Heeft dat een psychoakoestisch effect? Niet dat er hogere harmonischen voorkomen. Ik weet het niet.

Ik denk dat je er nooit aan ontkomt. Zodra je een vlakke blokgolf vrijlaat in de natuur wordt het een rinkelende blokgolf.

[Werner]

Man man.

 

De misverstanden blijven zich opstapelen, en het vreselijke F-woord is weer

eens gevallen.

 

Jacco,

 

kun je nog eens uitleggen hoe je beide blokgolven hebt aangemaakt,

en waar, wanneer, en hoe die gefilterd zijn?

En als je naar het spectrum kijkt, hoe je dat spectrum dan bekomen

hebt?

 

"Plaatje 2 hoort bij een filter dat, wanneer geimplementeerd in een DAC, vaak geprezen wordt met het argument "meer detail" en "beter uitsterfgedrag". Ja, dat vind ik niet gek: je zit de hoge tonen te boosten! Maar dat mag ik natuurlijk niet zeggen..."

 

Welk filter? Welke DAC? De DACs die in het analoge domein een platte

blokgolf vertonen hebben juist een verlies aan hoog in de band beneden fs/2.

(Omdat de Fouriertransformatie van een enkelzijdige impuls(t) van eindige duur

(dus niet-nul en niet-oneindig) Sinc(f) volgt.)

[Pjotr]

De DACs die in het analoge domein een platte

blokgolf vertonen hebben juist een verlies aan hoog in de band beneden fs/2.

(Omdat de Fouriertransformatie van een enkelzijdige impuls(t) van eindige duur

(dus niet-nul en niet-oneindig)  Sinc(f) volgt.)

Hallo Werner,

 

Begrijp wel wat je hier bedoelt maar zo'n platte blokgof krijg je er dan alleen maar uit als je er (digitaal) ook een platte blokgolf in stopt dwz een voor CD illegale blokgolf

 

Grappig genoeg krijg je er met zo'n DAC en een legale blokgof (bandbreedte beperkt tot 1/2 fs) juist meer ringing uit dan met een net gefilterde DAC.

 

Afijn laat Jacco eerst maar je vragen beantwoorden

[Werner]

zo'n platte blokgof krijg je er dan alleen maar uit als je er (digitaal) ook een platte blokgolf in stopt dwz een voor CD illegale blokgolf

Dat klopt.

 

Vandaar de noodzaak om in onze discussie alle randvoorwaarden strikt

te definieren (wat Jacco - nog - niet deed).

 

Anders vervalt alles tot marketingpraat

 

 

Nog zo een: de ideale reconstructor, Sinc, ringt tot aan het einde der tijden.

Maar als je hem aanstuurt met een legaal, gelimiteerd signaal, ringt

hij helemaal niet meer. Dat is iets waar ik Todd Krieger (audioasylum)

intussen al vijf jaar van probeer te overtuigen.

 

 

:ikrukmedeharenuitsmiley:

[dekkersj]

[...]

Nog zo een: de ideale reconstructor, Sinc, ringt tot aan het einde der tijden.

Maar als je hem aanstuurt met een legaal, gelimiteerd signaal, ringt

hij helemaal niet meer. Dat is iets waar ik Todd Krieger (audioasylum)

intussen al vijf jaar van probeer te overtuigen.

 

 

:inrukmedeharenuitsmiley:

Beste Werner,

 

Daar ga ik morgen over nadenken. Interessant experiment.

 

Ik neem aan dat je een tijdgelimiteerd signaal bedoelt? Nu ik er zo over nadenk, is dat triviaal. Dat betekent dat er in het tijddomein een stapfunctie is gegeven op tijdstip x waarna de functie nul is. De uitgang van het filter is de convolutiestelling in het tijddomein, ofwel oppervlaktebepaling van de grafiek van 2 onder elkaar schuivende grafieken. Op het moment dat er een 0 wordt, is het feest over en is er dus geen uitgangssignaal. Ofwel rinkelen is eindig bij tijdgelimiteerde ingangstijdsignalen.

 

Waarschijnlijk hoef ik er morgen toch niet meer over na te denken.

 

Groet,

Jacco

[dekkersj]

Man man.

 

De misverstanden blijven zich opstapelen, en het vreselijke F-woord is weer

eens gevallen.

 

Jacco,

 

kun je nog eens uitleggen hoe je beide blokgolven hebt aangemaakt,

en waar, wanneer, en hoe die gefilterd zijn?

En als je naar het spectrum kijkt, hoe je dat spectrum dan bekomen

hebt?

 

"Plaatje 2 hoort bij een filter dat, wanneer geimplementeerd in een DAC, vaak geprezen wordt met het argument "meer detail" en "beter uitsterfgedrag". Ja, dat vind ik niet gek: je zit de hoge tonen te boosten! Maar dat mag ik natuurlijk niet zeggen..."

 

Welk filter? Welke DAC? De DACs die in het analoge domein een platte

blokgolf vertonen hebben juist een verlies aan hoog in de band beneden fs/2.

(Omdat de Fouriertransformatie van een enkelzijdige impuls(t) van eindige duur

(dus niet-nul en niet-oneindig)  Sinc(f) volgt.)

Beste Werner,

 

Beide blokgolven zijn opgewekt volgens een bekend procede. Eigenlijk zijn het er inmiddels drie. Er is er 1 die zich duidelijk onderscheidt en dat is die mooie platte blokgolf, opgewekt door Adobe Audition. 32 bits precisie en op het laatste moment correct gedithered naar 16 bits. Ofwel triangular pdf met 2 bits piek-to-piek LSB en GEEN noise shaping. (noise shaping is voor managers)

 

Blijven er 2 over, de rammelkasten. De eerste is domweg de reeks die iedereen in zijn of haar wiskundeboekje kan terugvinden. De Fourierreeks om een blokgolf te beschrijven. 1/3, 1/5, etc etc. Een beetje wiskundige leidt dat zelf af natuurlijk. Is niet moeilijk en stelt niets voor, leren ze tegenwoordig al op de kleuterschool.

 

Die tweede rammelkast is een Ts/2 verschoven versie. Veel minder rinkeling, maar dezelfde spectrale inhoud.

 

@Pjotr,

Een platte blokgolf krijg je er alleen maar uit als je een shaping toepast op de bandbreedte begrensde blokgolf zoals ie in de wiskunde bekend is. Vervorming dus.

 

Met andere woorden: een platte blokgolf uit een digitaal systeem = vervorming!

 

Groet,

Jacco

[UltrAnalog]

Aliasing is voor mij altijd nog: Frequentiecomponenten in het signaal van boven 1/2 fs die terugvouwen om fs en daardoor (ongewenste) componenten onder 1/2 fs veroorzaken.

 

Hoe moet ik dat in deze discussie en Jacco's plaatjes plaatsen?

Aliasing hoeft niet eens uit multirate voort te komen.

 

De zogenaamd mooie blok is een halve sampletijd vertraagd. Omdat je in een digitaal systeem in principe alleen hele tijdseenheden kunt vertragen moet je om een fractional delay te krijgen gaan interpoleren (noem het een virtuele up- en downsampling als het je begrip geeft). Doe je dat fout - verkeerde polynoom, (sommige mensen noemen het verkrachten van Fourier series maar dat zijn hun woorden) dan krijg je aliasing.

 

Nogmaals, per Werner: het ideal is de sinc. En als je iets frequentiemarge hebt kun je inderdaad het ringen stoppen met een apodiser.

 

DSP kan soms ietwat counterintuitive overkomen. Dan is de wiskunde erbij doorrekenen helaas de enige oplossing. Gelukkig is die vrij elementair omdat filters niet veel meer kunnen dan vertragen, schuiven en optellen.

[Werner]

Ik neem aan dat je een tijdgelimiteerd signaal bedoelt?

Nee, frequentiegelimiteerd.

 

Je moet er niet over nadenken. Je moet Shannons bewijs volgen. Dat is alles.

 

Oh, en als het over digitale audio gaat moet je altijd het hele systeem voor ogen

houden:

 

{analoog in - anti-alias - ADC - verwerking - DAC - reconstructie - analoog uit}

[Werner]

Blijven er 2 over, de rammelkasten. De eerste is domweg de reeks die iedereen in zijn of haar wiskundeboekje kan terugvinden. De Fourierreeks om een blokgolf te beschrijven. 1/3, 1/5, etc etc. Een beetje wiskundige leidt dat zelf af natuurlijk. Is niet moeilijk en stelt niets voor, leren ze tegenwoordig al op de kleuterschool.

 

Die tweede rammelkast is een Ts/2 verschoven versie. Veel minder rinkeling,

 

@Pjotr,

Een platte blokgolf krijg je er alleen maar uit als je een shaping toepast op de bandbreedte begrensde blokgolf zoals ie in de wiskunde bekend is. Vervorming dus.

 

 

 

Groet,

Jacco

"Er is er 1 die zich duidelijk onderscheidt en dat is die mooie platte blokgolf, opgewekt door Adobe Audition. "

 

En die is illegaal, want hij houdt zich niet aan de systeemregel {} die ik hierboven heb uitgelegd.

 

De golfvorm is synthetisch, en kan op geen enkele wijze bekomen worden door een analoog-in->uit systeem. Hij is dan ook irrelevant voor ons doel, muziekweergave (*).

 

 

"32 bits precisie en op het laatste moment correct gedithered naar 16 bits. Ofwel triangular pdf met 2 bits piek-to-piek LSB en GEEN noise shaping. (noise shaping is voor managers)"

 

Van geen belang. Had liever verteld welke samplerate, en hoe je (in Matlab?)

de weergegeven plaatjes bekwam.

 

"maar dezelfde spectrale inhoud."

 

Wel, laat die spectra eens zien!

 

"Met andere woorden: een platte blokgolf uit een digitaal systeem = vervorming!"

 

Een platte blokgolf uit een digitaal systeem wil gewoon zeggen dat het om een synthetisch signaal gaat (niet afkomstig uit de analoge wereld, of alleszins niet AA-gefilterd) dat weergegeven wordt zonder reconstructiefiltering.

Een affaire die geheel buiten de beloften van Whittaker, Kotelnikov, Nyquist, en Shannon valt.

 

Als je zo'n blokgolf uit een DAC haalt wil dit niets anders zeggen dan

1) je stuurt de DAC aan met een synthetisch signaal

2) de DAC werkt zonder reconstructiefilter.

 

Het uitgangsspectrum is oneindig breed (imaging), maar valt langzaam af volgens Sinc(f) en Ts. In geval van CD en zonder oversampling is het verlies bij 20kHz iets van een 2dB (of was het 3?).

 

 

 

 

 

 

 

 

(* Pas tegen 2037 wil Bill Gates alle natuurlijke muziekuitvoeringen vervangen door composities die spontaan gegenereerd worden in WindowsForEver, zonder tussenkomst van mensen of andere sentiente wezens. Muzikanten en componisten zullen omgeschoold worden tot helpdeskdroiden. Instrumentenbouwers zullen domweg uitsterven. Concertzalen zullen ingezet worden voor de massale opleiding van MicroServs.)

[dekkersj]

[...]

 

 

"32 bits precisie en op het laatste moment correct gedithered naar 16 bits. Ofwel triangular pdf met 2 bits piek-to-piek LSB en GEEN noise shaping. (noise shaping is voor managers)"

 

Van geen belang. Had liever verteld welke samplerate, en hoe je (in Matlab?)

de weergegeven plaatjes bekwam.

 

[...]

Beste Werner,

 

Alles is gemaakt bij 44k1 samplerate. En alles is geanalyseerd in MatLab waarbij ik een FFT gedaan met een lengte gelijk aan het aantal punten van de gegenereerde file. Als die 30 seconden duurt, is het dus een 44k1*30-punts FFT.

 

"maar dezelfde spectrale inhoud."

 

Wel, laat die spectra eens zien!

Ok, nogmaals het plaatje dat het verschil tussen de 2:

 

Een platte blokgolf uit een digitaal systeem wil gewoon zeggen dat het om een synthetisch signaal gaat (niet afkomstig uit de analoge wereld, of alleszins niet AA-gefilterd) dat weergegeven wordt zonder reconstructiefiltering.

Een affaire die geheel buiten de beloften van Whittaker, Kotelnikov, Nyquist, en Shannon valt.

Dat vind ik best, maar je hebt er wel mee te maken. ik heb Audition gebruikt en de gebruiker denkt dat ie een blokgolf gemaakt heeft. Dat heeft ie dus niet. De vermogensinhoud is wel degelijk anders dan de wiskundige blokgolf.

 

Groet,

Jacco

[dekkersj]

Ik neem aan dat je een tijdgelimiteerd signaal bedoelt?

Nee, frequentiegelimiteerd.

 

Je moet er niet over nadenken. Je moet Shannons bewijs volgen. Dat is alles.

 

Oh, en als het over digitale audio gaat moet je altijd het hele systeem voor ogen

houden:

 

{analoog in - anti-alias - ADC - verwerking - DAC - reconstructie - analoog uit}

Als ik dat bewijs volg, dan moet ik oneindig lang wachten voordat er iets uit mijn systeem komt...

 

 

Groet,

Jacco

[Werner]

Voor een ingenieur bestaat er altijd zoiets als 'lang genoeg'.

[Werner]

Kzieheteindelijk ...

 

Je 44.1Hz blok bestaat alleen uit subharmonischen van de bemonsteringsfrequentie fs = 44100Hz.

 

In het geval van de 'perfecte' blok illegaal aangemaakt in het digitale domein (Audition) valt de laatste legale (volgens Shannon) harmonische op 499 * 44.1Hz = 22005.9Hz.

 

Harmonische 501 ligt op 501 * 44.1Hz = 22094.1Hz, dus boven fs/2.

 

Die harmonische is er, want de blokgolf is 'perfect'. De harmonische aliast echter in de FFT analyse, want die is beperkt tot de frequentieruimte tot fs/2.

 

En wat zie je? H501 aliast tot fs/2 - 44.1Hz = 22005.9Hz: ze valt samen met

H499!

 

Als je dan de Fourierspectra van de legale block vergelijkt van de illegale, dan lijkt het of de laatste meer hoog bevat.

 

Als je als basisfrequentie iets had genomen dat niet harmonieert met fs dan zou je door de aliasing een tweede spectrum tussen het 'legale' spectrum hebben zien verschijnen.

 

Dit spectrum is van een 'perfecte' blok met basisfrequentie harmonisch relateerd aan fs:

 

 

 

 

 

En dit met een niet-harmonische relatie: